Математичні та фізичні основи.
Від формули до моделі.
Фундаментальний модуль інженерного рівня. Його задача — дати математичну мову, потрібну для наступних дисциплін: аеродинаміки, динаміки польоту, оцінювання стану, автоматичного керування, навігації, енергетики та аналізу експериментальних даних.
Одиниці — частина математичної моделі
Фізична величина складається з числового значення та одиниці. Базові SI, що постійно зустрічаються в курсі: метр m, кілограм kg, секунда s, ампер A, кельвін K. Похідні: N=kg·m/s², J=N·m, W=J/s, Pa=N/m².
Принцип однорідності: додавати можна лише величини однакової розмірності, а обидві частини фізичного рівняння повинні мати однакову розмірність. Це не доводить правильність моделі, але швидко виявляє цілий клас помилок.
Вектори, базиси та проєкції
Положення, швидкість, прискорення, сила та кутова швидкість потребують напрямку. В ортонормованому базисі вектор v=[vₓ,vᵧ,v_z]ᵀ. Його евклідова норма:
Скалярний добуток a·b=‖a‖‖b‖cosθ визначає проєкцію та кут. Векторний добуток a×b створює вектор, перпендикулярний площині a,b; у механіці момент сили τ=r×F.
Матриці та системи координат
Матриця — компактний спосіб описати лінійне перетворення. Обертання вектора у площині на кут ψ задається матрицею R(ψ). Важливо розрізняти координати фізичного вектора і сам вектор: одна й та сама швидкість матиме різні компоненти у різних базисах.
У тривимірній динаміці послідовність обертань має значення: матричне множення загалом некомутативне, AB≠BA. Далі в A03 це приведе до rotation matrices, Euler angles та quaternion-представлення орієнтації.
Система лінійних рівнянь
Ax=b. Якщо A оборотна, x=A⁻¹b. На практиці чисельні алгоритми зазвичай не обчислюють обернену матрицю явно, а розв'язують систему стійкішим методом.
Похідна описує локальну швидкість зміни
Похідна функції в точці — границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Для експериментальних дискретних даних похідну оцінюють різницями, наприклад (xₖ−xₖ₋₁)/Δt. Така операція підсилює високочастотний шум, що стане важливим у модулях сенсорів і керування.
Для функції багатьох змінних використовують часткові похідні. Градієнт ∇f показує напрямок найшвидшого локального зростання скалярного поля.
Інтеграл — накопичення нескінченно малих внесків
Геометрично визначений інтеграл є знаковою площею під кривою. Фізично він накопичує величину: струм у часі дає заряд, потужність у часі — енергію, швидкість у часі — переміщення. У цифровій системі інтеграл замінюється сумою, наприклад методом прямокутників або трапецій.
Динамічна система як рівняння стану
Якщо майбутній стан залежить від поточного стану та входу, природний запис — диференціальне рівняння. Найпростіша модель першого порядку:
τ — стала часу, K — статичний коефіцієнт підсилення. Для ступінчастого входу система першого порядку експоненційно наближається до нового сталого стану. Це фундамент для розуміння реакції двигуна, фільтра та замкненого контуру.
У подальших модулях вектор стану може містити положення, швидкість, орієнтацію та інші змінні.
Поступальний та обертальний рух
Поступальний
Результуюча зовнішня сила визначає зміну лінійного імпульсу. Для сталої маси це переходить у знайоме F=ma.
Обертальний
Момент залежить не лише від сили, а й від плеча. Повна 3D-динаміка обертання використовує тензор інерції.
Центр мас, розподіл маси та момент інерції — різні характеристики. Переміщення компонента може майже не змінити загальну масу, але істотно змінити інерційні властивості.
Енергетичний баланс
Енергія — здатність системи виконувати роботу, потужність — швидкість передачі енергії. Для електричного кола в базовій моделі P=UI. Реальна оцінка автономності потребує інтегрування споживаної потужності та врахування втрат.
Безперервний світ і дискретні вимірювання
Автопілот працює з відліками. Якщо x(t) вимірюється кожні Tₛ секунд, частота дискретизації fₛ=1/Tₛ. Частоти вище половини fₛ не можуть бути однозначно представлені без попереднього обмеження спектра.
Aliasing означає, що високочастотна складова після дискретизації може виглядати як нижча частота. Ця ідея критична для аналізу вібрацій, IMU та цифрових фільтрів.
Від одного вимірювання до розподілу
Середнє описує центральну тенденцію, дисперсія — розсіювання. Кореляція показує статистичний зв'язок, але сама по собі не встановлює причинність. Для сенсорів важливо розрізняти випадковий шум, систематичне зміщення та повільний drift.
Нормальний розподіл
Гаусова модель часто корисна як наближення шуму, але не є універсальним законом. Інженер повинен перевіряти дані, а не автоматично припускати нормальність.
Похибка, точність і невизначеність
| Поняття | Сенс |
|---|---|
| Resolution | Найменша зміна, яку здатна відобразити система. |
| Bias | Систематичне зміщення результату. |
| Noise | Випадкові коливання відліків. |
| Repeatability | Наскільки близькі повторні результати за однакових умов. |
| Uncertainty | Кількісна характеристика сумніву щодо результату вимірювання. |
Для y=f(x₁,…,xₙ) невизначеності незалежних входів у першому наближенні можна поширити через локальну лінеаризацію:
Лабораторна робота A01 — від даних до фізичної моделі
Контрольні задачі
1. Переведи 72 km/h у m/s та обчисли кінетичну енергію тіла масою 1.5 kg.
2. Знайди модуль [3,4,12] та скалярний добуток [1,2,0]·[3,−1,4].
3. Для x(t)=2t²+3t знайди v(t), a(t), а потім значення при t=2 s.
4. Система має τ=0.5 s. Поясни фізичний зміст сталої часу для ступінчастої реакції.
5. Сенсор читається з 100 Hz. Яка частота Найквіста? Чому сигнал 80 Hz потребує іншої частоти дискретизації/антиаліасингового захисту?
6. Поясни різницю між bias, noise та uncertainty на одному експериментальному прикладі.
Критерій завершення
Студент повинен не лише отримати число, а показати вихідні припущення, формулу, підстановку в SI, одиниці, проміжні обчислення та інтерпретацію результату. Рекомендований поріг самоконтролю — не менше 80% правильно виконаних контрольних задач.
A01 є фундаментом. Матриці орієнтації поглиблюються в A03, спектральний аналіз — у A08/A09, статистичне оцінювання — в A08, а чисельні моделі та лог-аналіз застосовуються в наступних практичних модулях.